Солнечно-земная физика

Справочник



Раствор конуса потерь. Критические питч-углы.

Рис. 1. Схема движения частицы в магнитном поле. Определения параметров.

 

Представим себе частицу, захваченную в магнитном поле Земли (Рис. 1). Она, как хорошо известно, вращается вокруг силовой линии по ларморовскому кружку, совершает колебания вдоль силовой линии и испытывает азимутальный дрейф по всем долготам вокруг Земли. Периоды этих движений увеличиваются в порядке перечисления.
Рассмотрим частицу у вершины силовой линии (точка с напряженностью поля B0 в правой части рисунка). Пусть она находится на оболочке с параметром L (измеряется в радиусах земли и равен в дипольном поле расстоянию от центра Земли до вершины силовой линии ). Если ее питч-угол 90°, она не испытывает колебаний и находится все время на одном и том же расстоянии от Земли (). Если же питч-угол меньше 90°, она ддвижется вдоль силовой линии и отражаясь в точках с напряженностью Bm (m - mirror, зеркальная точка, англ.). Пусть магнитная широта этой точки отражения равна λ, высота над Землей h. Чем меньше питч-угол на экваторе α, тем ниже высота точки отражения, тем меньше h.
Если так случилось, что в точке отражения частица заходит на высоту h меньше или порядка 100 километров, она может "погибнуть" в атмосфере и перестать участвовать в колебательном движении. Рассчитаем, каким должен быть питч-угол частицы на экваторе, чтобы точка отражения частицы располагалась на высоте h. Назовем этот питч-угол критическим (αкр). Частица с питч-углом меньше αкр погибнет заведомо, поэтому диапазон питч-углов от 0 до αкр называется конусом потерь, а αкр еще называется раствором конуса потерь.
Из закона сохранения первого адиабатического инварианта
.
Уравнение силовой линии магнитного диполя
,
напряженность магнитного поля в зависимости от r,λ имеет вид
.
где μ~0,311 - магнитное поле на экваторе Земли при L=1. Значит, в точке у вершины силовой линии расстояние равно
,
а напряженность магнитного поля будет равна
.
В точке отражения, исходя из тех же формул,
.

Объединяя все упомянутые выше выражения, получаем для критического угла выражение вида
.
Осталась одна неизвестная величина λ, которую можно рассчитать по уже использовавшейся формуле
,
где r в точке отражения равно Rз+h, значит
.
Подставляя это выражение в формулу для критического угла, получаем

Перейдем от выражений типа Rз+h к выражениям, содержащим h/Rз. Получаем


Отсюда видно, что полученное выражение безразмерно и, скорее всего, ошибок в вычислениях не было.

Рис. 2. Зависимость критического питч-угла в градусах от L.
Если взять для расчета Rз=6400 км, h=100 км, диапазон по L от 1.2 до 7, получим следующую таблицу критических питч-углов:

L

1/L3

(1+h/Rз)/L

sin2αкр

sin αкр

αкр, радиан

αкр, °

1,2

1,157407

0,84635417

0,98010028

0,99

1,429258

81,89044

1,5

0,592593

0,67708333

0,43227588

0,657477

0,717465

41,10773

2

0,25

0,5078125

0,16259809

0,403235

0,415049

23,78054

3

0,074074

0,33854167

0,04388738

0,209493

0,211057

12,09265

5

0,016

0,203125

0,00889365

0,094306

0,094447

5,411387

7

0,005831

0,14508929

0,00316099

0,056223

0,056252

3,22302

Для меньших L получается значение больше единицы, и потому для них невозможно рассчитать соответствующие критические питч-углы.
На Рис. 2 показана зависимость критического питч-угла от L. Подведем итоги:

  1. Частица с питч-углом, равным критическому или больше, попадает в конус потерь и гибнет в атмосфере.
  2. В максимуме радиационного пояса критический питч-угол порядка 10°. Чем ближе к Земле, тем шире раствор конуса потерь.
  3. Предельное значение раствора конуса потерь достигается на L<1.2.

Подчеркнем недостатки проведенного выше расчета и возможные пути их решения.
  1. Магнитное поле Земли на самом деле не дипольное. В литературе описаны методы модификации расчета, например, введением смещения центра диполя от центра Земли. Можно проводить расчет с помощью моделей магнитного поля (например, IGRF, модели Цыганенко и др.), которые гораздо ближе к реальному.
  2. Радиус Земли взят с большим округлением.
  3. Высота атмосферы не может быть определена в точности и 100 км это лишь приблизительная оценка.
В. Петров, НИИЯФ МГУ

Использованная литература

Х. Редерер, Динамика радиации, захваченной геомагнитным полем. Мир, Москва, 1972.